रूलेट में मानक विचलन
रूलेट के मानक विचलन, यानी प्रसरणगणितप्रसरणएगो नाप कि नतीजा अपेक्षित मान के चारो ओर केतना फइलल बा। स्ट्रेट-अप खातिर जादा, सम-धन दांव खातिर कम।पूरा पढ़ीं → के वर्गमूल, कवनो नतीजा आ ओकर अपेक्षा के बीच के आम दूरी ह।
हर $1 के दांव पर σ स्ट्रेट-अप खातिर 5.84 बा आ लाल खातिर 1.00। सत्र खातिर एकरा के दांव के रकम से आ स्पिन के गिनती के वर्गमूल से गुणा करीं।
मोटा-मोटी नियम
मोटा-मोटी दू तिहाई सत्र अपेक्षा से एक σ के भीतर खतम होला आ 95% दू के भीतर। $10 पर 100 लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → स्पिन खातिर (अपेक्षित −$27, σ = $100) जादातर सत्र −$127 आ +$73 के बीच गिरेला, आ लगभग सभ −$227 आ +$173 के बीच। एह दायरा से बाहर के नतीजा कवनो बात के सबूत ना ह, सिवाय एकरा कि बीस में एगो सत्र अइसन होला।
√N काहे
अपेक्षित घाटागणितअपेक्षित घाटाअपेक्षित मान गुणा कुल लगावल रकम; कवनो सत्र भा समय में औसतन होखे वाला घाटा।पूरा पढ़ीं → N के अनुपात में बढ़ेला; छितराव √N के अनुपात में। छोट N पर छितराव हावी रहेला आ सत्र सिक्का उछाले जइसन होला, बस तनी झुकाव के साथे। बड़ N पर घाटा छितराव से आगे निकल जाला। मिलान बिंदु, जहाँ अपेक्षित घाटा एक मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण के वर्गमूल; कवनो नतीजा के अपेक्षित मान से आम दूरी।पूरा पढ़ीं → के बराबर हो जाला, N = (σ/एज)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 स्पिन पर बा सम-धन खातिर, आ (5.84/0.027)² ≈ 46,800 पर स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → खातिर। एह संख्या से नीचे किस्मत फैसला करेला; एकरा से ऊपर एज।
एकर इस्तेमाल
कवनो सत्र असामान्य रहे कि ना, ई जाँचे खातिर (नतीजा − EV)/σ निकालीं। लाल पर $10 लगावे वाला जवन खेलाड़ी 100 स्पिन +$150 पर खतम करेला, ऊ (150 + 27)/100 = 1.77σ पर बा, 25 में एक वाला नतीजा: किस्मत, कवनो खास बात ना। स्ट्रेट-अप पर खेले वाला ओही +$150 पर 0.3σ पर बा: एगो आम रात। एके डॉलर वाला नतीजा के अलग-अलग दांव पर अलग-अलग मतलब होला।
अनुपात के मानक त्रुटि
इहे हिसाब बतावेला कि आँकड़ा में एज देखे खातिर केतना स्पिन लागी। देखल जीत-अनुपात के मानक त्रुटि √(p(1 − p)/N) होला। लाल खातिर N = 1,000 पर: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%। निष्पक्ष सिक्का आ लाल के बीच के फरक 1.35% बा, एही से 1,000 स्पिन के बादो रउआ भरोसा से दूनो के अलगा ना कर सकत बानी। 10,000 के बाद मानक त्रुटि 0.5% बा आ रउआ कर सकत बानी। इहे कारण बा कि व्हील के पक्षपात पकड़े खातिर एतना स्पिन चाहीं।
टेढ़पन पर एगो चेतावनी
छोट सत्र में स्ट्रेट-अप के नतीजा सामान्य बँटवारा से बहुत दूर होला: जादातर सत्र हर स्पिन पर लगातार −$10 होला, बीच-बीच में +$350 के उछाल के साथे। ±1σ वाला नियम छितराव के सही बतावेला, बाकिर आकार के ठीक से तब ले ना बतावे जब ले N सैकड़न में ना पहुँचे। सम-धन दांवदांवसम-धन दांवलाल/करिया, विषम/सम, हाई/लो। 18 गो नंबर, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ीं → खातिर सामान्य सन्निकटन मोटा-मोटी 30 स्पिन से ठीक बा।
सूत्र
सवाल
ई एह बात के सबूत ह कि रउआ मोटा-मोटी 40 गो सत्र खेलनी, भा चालीस में ओह एगो किस्मत वाला में रहनी। फेर से करके देखीं।
ई कम से कम झूलत जाला: औसत के मानक त्रुटि σ/√N बा। N = 10,000 ले ई दांव के 1% रह जाला।
गणित के साथे मनोरंजन
पहिले रउआ खुद आजमाईं। हर हल मोड़ के छिपावल बा; जब तइयार होखीं तब खोलीं।
यूरोपीय व्हील के 100 स्पिन में, लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → पर एक इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं → कम से कम 51 जीत पर आगे बा, आ स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → पर एक इकाई आगे बा जदि ओकर नंबर कम से कम 3 बेर लागे। दूनो संभावना के अनुमान घंटी वक्र से लगाईं, फेर ओकनी के सटीक जवाब से मिलाईं।
हल देखाईं
जवाब लाल: घंटी वक्र 35.6% देला आ सटीक जवाब 35.5% बा। स्ट्रेट-अप: घंटी वक्र 55.0% देला आ सटीक जवाब 50.9% बा। छोटका रास्ता लाल खातिर काम करेला आ अकेला नंबर खातिर चूक जाला।
लाल: जीत के औसत 100 × 18/37 = 48.6 बा, फइलाव √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0। आगे के मतलब 51 भा ओकरा से जादा; बीच के निशान, 50.5, औसत से 0.37 फइलाव ऊपर बा, आ घंटी वक्र ओकरा ऊपर 35.6% रखेला। 51, 52 … 100 जीत के सटीक संभावना जोड़ला पर 35.5% मिलेला।
स्ट्रेट-अप: हिट के औसत 100/37 = 2.70 बा, फइलाव √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62। तीन भा ओकरा से जादा हिट के मतलब 2.5 से ऊपर, जवन औसत से 0.12 फइलाव नीचे बा: घंटी वक्र से 55.0%। सटीक रूप से ई 1 घटा 0, 1 आ 2 हिट के संभावना बा, 6.5% + 17.9% + 24.7%, जवन 50.9% छोड़ेला।
घंटी वक्र के औसत के दूनो ओर ढेर नतीजा चाहीं। 100 स्पिन के बाद लाल के लगे ऊ बा; जवन नंबर औसतन तीन से कम बेर लागेला, ओकरा लगे ना। वक्र त “एको हिट ना” के भी 8.7% देला, जहाँ असली संभावना 6.5% बा। Taylor (2021) द्विपद आ घंटी वक्र के अइसहीं अगल-बगल रखेलें।
हँसी के बीच
बीस में एगो सत्र दू सिग्मा से बाहर होला। केहू ना केहू हमेशा पूँछ पर रहेला।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.