कंगाल होखे के खतरा
लक्ष्य ले पहुँचे से पहिले आपन पूरा खेले के पूँजी गँवा देवे के संभावना।
सम-धन दांव खातिर कंगाल होखे के खतरा जुआरी के कंगाली वाला सूत्र से चलेला। $500 के पूँजी, $10 के दांव आ $600 के लक्ष्य होखे त रउआ मोटा-मोटी 57% बेर लक्ष्य ले पहुँचब आ बाकी बेर कंगाल हो जाइब।
सवाल
रउआ लगे a इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं → के खेले के पूँजीपइसाखेले के पूँजीखेले खातिर अलगा रखल कुल रकम। पूँजी के संभाल माने ई तय कइल कि हर दांव आ हर सत्र में एकर केतना हिस्सा जोखिम में डालल जाव।पूरा पढ़ीं → बा आ रउआ a + b इकाई ले पहुँचे के चाहत बानी, एक बेर में एक इकाई सम-धन दांवदांवसम-धन दांवलाल/करिया, विषम/सम, हाई/लो। 18 गो नंबर, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ीं → पर लगा के, जवना में जीत के संभावनागणितसंभावनाकवनो नतीजा के मौका, 0 से 1 ले भा 0% से 100% ले। एगो नंबर: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ीं → p = 18/37 बा आ हार के संभावना q = 19/37। शून्य पर पहुँचे से पहिले लक्ष्य ले पहुँचे के मौका का बा? एकर जवाब 1650 के दशक में पास्कल, फर्मा आ ह्यूजेंस निकललें, आ ई संभावना के सबसे पुरान नतीजा में से एगो ह।
जुआरी के कंगाली वाला सूत्र
P(लक्ष्य ले पहुँचल) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)। कंगाल होखे के खतरागणितकंगाल होखे के खतराकवनो लक्ष्य भा स्पिन के गिनती ले पहुँचे से पहिले पूरा पूँजी हार जाए के संभावना।पूरा पढ़ीं → एक में से एकरा के घटवला पर मिलेला। q/p = 19/18 ≈ 1.0556 होखे पर ई अनुपात इकाई के गिनती के साथे घातांकी रूप से बढ़ेला, एही से सूत्र छोट इकाई के कड़ा सजा देला: लक्ष्य ले पहुँचे में जेतना जादा दांव लागी, रास्ता में 2.70% के चुंगी ओतने जादा बेर भरे के पड़ी।
एकरा के कइसे पढ़ीं
छोट इकाई नोकसान करेला। $10 के दांव से $500 के दोगुना करे के कोसिस 6% बेर सफल होला; एगो $500 के दांव से 48.6% बेर। साहसी खेल, यानी कम आ बड़ दांव, नकारात्मक अपेक्षा वाला खेल में लक्ष्य पावे के मौका सबसे जादा करेला, काहे कि ई एज लागे के गिनती सबसे कम करेला। ई राउर साथे का होई ओकर प्रसरणगणितप्रसरणएगो नाप कि नतीजा अपेक्षित मान के चारो ओर केतना फइलल बा। स्ट्रेट-अप खातिर जादा, सम-धन दांव खातिर कम।पूरा पढ़ीं → भी सबसे जादा करेला, आ साँझ के जल्दी खतम कर देला। एह प्रमेय के नाम “साहसी खेल सबसे बढ़िया बा” ह आ एकरा के Dubins आ Savage 1965 में साबित कइलें।
सवाल कहाँ से शुरू भइल
ई सवाल रूलेट से पुरान बा। 1656 में पास्कल फर्मा के एगो पहेली देलें: दू गो खेलाड़ी तीन गो पासा फेंकेलें, दूनो के लगे शुरू में 12 गोटी रहेला; 11 आवे पर एगो गोटी एक ओर जाला, 14 आवे पर दोसरा ओर। दूनो एकरा के हल कइलें, आ ह्यूजेंस, जिनका गणितज्ञ पियरे द कारकावी के चिट्ठी से एकर पता चलल, 1657 में एकरा के संभावना पर पहिला किताब के पाँचवाँ सवाल के रूप में छपलें, जवाब के साथे बाकिर बिना सबूत के। ग्यारह 27 तरीका से आ सकेला आ चौदह खाली 15 तरीका से, एही से हर गोटी 14 में 9 बेर पहिला खेलाड़ी के ओर जाले, आ ऊपर वाला सूत्र, दूनो के 12 गोटी के साथे, ओकरा सब कुछ गँवावे के मुकाबले सब कुछ जीते के मोटा-मोटी 1,157 गुना जादा संभावना देला। 2.70% के एज एकरा से बहुत छोट बा, बाकिर इहे सूत्र देखावेला कि बहुत दांव पर ई का करेला।
एगो असली साहसी दांव
अप्रैल 2004 में एगो जवान अंग्रेज, एश्ली रेवेल, आपन लगभग सब कुछ बेच देलें, कपड़ा समेत, आ $1,35,300 ले के लास वेगास के Plaza पहुँचलें। कुछ छोट दांव के बाद ऊ पूरा रकम एक बेर लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → पर लगा देलें। गेंदउपकरणगेंदछोट गेंद जवन रोटर के उलटा दिशा में ट्रैक पर छोड़ल जाले। आजकल के गेंद आइवोरिन भा टेफ़्लॉन के होले, 18–21 mm।पूरा पढ़ीं → लाल 7 पर गिरल आ ऊ $2,70,600 ले के बाहर निकललें। डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → व्हील पर ओह एगो स्पिन में मौका 47.37% रहे आ औसतन ओकर खरचा $7,121 रहे, यानी एगो दांव पर 5.26% के एज। $10 के दांव में बाँट दिहल जाइत त ओही लक्ष्य के लगभग कवनो उमेद ना रहित। साहसी खेल दांव के बढ़िया ना बनावे; बस ओकरा के जेतना हो सके ओतना छोट कर देला।
बिना लक्ष्य के कंगाल होखे के खतरा
अगर रउआ बस तब ले खेलत बानी जब ले कंगाल ना हो जाईं, भा N स्पिन के बाद रुक जात बानी, त सवाल बन जाला “N स्पिन के भीतर हमार पूँजी शून्य छूए के मौका का बा?”। सामान्य N खातिर कवनो बंद सूत्र नइखे, बाकिर एह साइट के सिम्युलेटर एकर हिसाब करेला: लाल पर $10 से $500 के पूँजी 100 स्पिन में लगभग कबो कंगाल ना होला (1% से कम), 500 स्पिन में मोटा-मोटी 9% बेर कंगाल होला, आ 5,000 में मोटा-मोटी 95% बेर। रुके के कवनो नियम ना होखे त संभावना 100% के ओर जाला, आ इहे हाउस एजगणितहाउस एजहर दांव के ऊ हिस्सा जवन कसीनो औसतन रख लेला: यूरोपीय रूलेट में 2.70%।पूरा पढ़ीं → के लंबा समय वाला रूप ह।
- p10 −$500
- p25 −$500
- माध्यिका −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
केतना देर, आ केतना आगे
दू गो अउर पुरान नतीजा ओह सवाल के जवाब देला जवन खेलाड़ी सचमुच पूछेलें। बिना लक्ष्य के, स्थिर सम-धन दांव यूरोपीय व्हील पर पूँजी के हर इकाई खातिर औसतन 37 स्पिन चलेला आ अमेरिकी पर 19, काहे कि हर स्पिन औसतन इकाई के 1/37 ले लेला (अमेरिकी व्हील पर 1/19): 100 इकाई औसतन 3,700 स्पिन चलेला, हालाँकि अइसन आधा सत्र 3,134 के भीतर खतम हो जाला (“सत्र के लंबाई आ खरचा” देखीं)। आ पूँजी चाहे जेतना बड़ होखे, यूरोपीय व्हील पर कबो k इकाई आगे होखे के मौका (18/19)ᵏ बा। एक इकाई खातिर ई 95% बा आ दस खातिर 58%, बाकिर कवनो पूँजी, चाहे जेतना गहिर होखे, कबो 13 इकाई ऊपर होखे के बराबर मौका ना देला; अमेरिकी व्हील पर मौका (9/10)ᵏ बा आ 7 इकाई पर आधा से नीचे गिर जाला।
आधा-आधा मौका खातिर पूँजी
सवाल के उलट दीं: सब कुछ गँवावे से पहिले कवनो तय रकम जीते के कम से कम आधा-आधा मौका पावे खातिर रउआ के केतना ले के आवे के पड़ी? छोट जीत खातिर, जादा ना। बड़ जीत खातिर जरूरी पूँजी तेजी से चढ़ेला, आ एगो हद के बाद कवनो पूँजी काफी ना होला, काहे कि अनंत पूँजी भी कबो ओतना आगे पहुँचे के आधा-आधा से कम मौका देला। टेलर (2021) एकरा के दोसरा तरह से कहेलें: अमेरिकी व्हील पर 100 इकाई ले पहुँचे के आधा-आधा मौका खातिर रउआ के 94 से शुरू करे के पड़ी, यानी 6 जीते खातिर 94 के जोखिम। यूरोपीय व्हील पर 88 चाहीं।
व्यावहारिक सीख
तय करीं कि रउआ का करे के चाहत बानी। अगर लक्ष्य कवनो खास जीत बा, त बड़ आ कम दांव लगाईं। अगर लक्ष्य लमहर साँझ बा, त छोट दांव लगाईं आ मान लीं कि एज बड़ कुल दांव-रकमपइसाकुल दांव-रकमकवनो सत्र भा समय में लगावल कुल रकम, फेर से लगावल जीत समेत। दोसर नाम: handle, action।पूरा पढ़ीं → के आपन 2.70% ले ली। अगर लक्ष्य दूनो बा, त कुछ ना कुछ छोड़े के पड़ी, आ अक्सर ऊ लक्ष्य होला।
सूत्र
सवाल
मार्टिंगेलरणनीतिमार्टिंगेलप्रगति-क्रम जवन हर हार के बाद दांव दोगुना कर देला। ई का करेला आ का ना करेला, एकरा खातिर रणनीति वाला हिस्सा देखीं।पूरा पढ़ीं → छोट सत्र खातिर एकरा के घटावेला आ लमहर सत्र खातिर बहुत जादा बढ़ा देला। बड़ इकाई पर स्थिर दांवरणनीतिस्थिर दांवहर स्पिन पर एके रकम के दांव। हर प्रगति-क्रम के एही से तुलना कइल जाला।पूरा पढ़ीं → एकरा के घटावे के ईमानदार तरीका ह।
ऊपर वाला सूत्र सम-धन खातिर बा। जादा प्रसरण वाला दांव खातिर छोट दांव-रकम पर कंगाली के संभावना जादा बा आ लक्ष्य ऊबड़-खाबड़ तरीका से पहुँचेला; कैलकुलेटर के इस्तेमाल करीं।
लक्ष्य के ओर हर कदम कंगाली के ओर हर कदम से तनी कम संभावित बा; ई अनुपात कदम के गिनती के साथे चक्रवृद्धि होत जाला।
गणित के साथे मनोरंजन
पहिले रउआ खुद आजमाईं। हर हल मोड़ के छिपावल बा; जब तइयार होखीं तब खोलीं।
राउर लगे $100 बा आ रउआ $1,000 चाहत बानी, खाली लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → पर दांव लगा के। पहिला योजना: एक बेर में $1 लगाईं। दूसरका योजना: जब ले $500 से आगे ना पहुँचीं, सभ कुछ लगाईं, फेर बस ओतने जेतना $1,000 पहुँचे खातिर चाहीं। कवन योजना बढ़िया बा, आ केतना?
हल देखाईं
जवाब दूसरका, बहुत आगे। ई मोटा-मोटी 9.0% बेर $1,000 ले पहुँचेला, निष्पक्ष 10% के लगे। पहिला योजना 10²² में मोटा-मोटी 7 बेर सफल होला।
निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलअइसन खेल जवना में कवनो ओर के एज ना होखे: हर दांव के अपेक्षित मान शून्य होला।पूरा पढ़ीं → में रउआ $100 से $1,000 ले दस में एक बेर पहुँचतीं, चाहे जवन करीं, काहे कि राउर पइसा के औसत मान $100 पर टिकल रहेला।
एज हर दांव के 2.70% ले लेला, एही से कुल मिला के जेतना कम दांव लगाईं, ओतने दस में एक के लगे रहब। दूसरका योजना गिनल-चुनल दांव में फैसला कर देला: $100 से $200, $400, $800, आ फेर $200 काफी बा। ई मोटा-मोटी 9.0% बेर सफल होला। पहिला योजना में सफर खतम होखे से पहिले हजारन दांव लागेला, आ एज, हर दांव पर छोट, जुड़ के लगभग पक्का बरबादी बन जाला।
ई Dubins–Savage के नतीजा के सबसे सीधा रूप ह (Epstein, 2013): जवना खेल में कसीनो के फायदा होखे, ओह में जेतना चाहीं ओतना लगाईं, आ जेतना कम बेर हो सके।
राउर लगे $500 बा आ रउआ $1,000 चाहत बानी, आ मिलते रुक जाएब। रउआ एके किसिम के दांव चुनत बानी आ ओकरा के तब ले दोहरावत बानी जब ले ऊ एक बेर जीत ना जाव भा पइसा ओरा ना जाव। कवन किसिम सबसे बढ़िया मौका देला?
हल देखाईं
जवाब लाल पर एगो $500 के दांव: 48.6%। जवन भी योजना पइसा के छोट-छोट दांव में बाँटेले, ऊ एकरा से खराब करेले।
हर दांव के रकम अइसन चुनीं कि एक जीत काफी होखे: स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → पर $30 से $1,050 जीतल जाला, स्प्लिटदांवस्प्लिटसटल दू गो नंबर, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ीं → पर $60 से $1,020, आ अइसहीं। फेर गिनीं कि पइसा ओराए से पहिले कम से कम एगो दांव जीते के संभावना केतना बा। सोलह गो $30 के स्ट्रेट-अप सभ के चूके के संभावना (36/37)¹⁶ = 64.5% बा, एही से ऊ 35.5% बेर $1,000 ले पहुँचेला।
तालिका हर दांव देखावेले। लाल सबसे बढ़िया बा काहे कि ऊ एके दांव में पहुँच जाला, एही से एज एक बेर, $500 पर, चुकावल जाला। सिक्स लाइनदांवसिक्स लाइनसटल दू पंक्ति के छव गो नंबर, भुगतान 5:1। फ़्रेंच में: sixain।पूरा पढ़ीं → दूसरा नंबर पर बा काहे कि ओकरा खाली तीन गो चाहीं। एगो अकेला दर्जनदांवदर्जन1–12, 13–24 भा 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ीं → दांव सबसे खराब बा, 12/37 के शॉट; $1,000 भा ओकरा से जादा होखे ले $250 के इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं → में खेलला पर भी दर्जन खाली 46.4% बेर पहुँचेला।
Bollman (2024) अमेरिकी व्हील खातिर इहे तालिका बनवले बाड़न। उनकर दर्जन वाली पाँति में एगो गलती बा: ओह में 12/38 = 31.6% होखे के चाहीं।
दांवदांव के रकम × दांव के गिनती$1,000 ले पहुँचे के संभावनास्ट्रेट-अप$30 × 1635.5%स्प्लिट$60 × 835.9%स्ट्रीट$90 × 534.5%कॉर्नर$125 × 436.7%सिक्स लाइन$166, $166, $16841.2%दर्जन$500 × 132.4%लाल$500 × 148.6%रउआ स्पिन पर स्पिन लाल पर एक इकाई लगावत बानी, अइसन खेले के पूँजीपइसाखेले के पूँजीखेले खातिर अलगा रखल कुल रकम। पूँजी के संभाल माने ई तय कइल कि हर दांव आ हर सत्र में एकर केतना हिस्सा जोखिम में डालल जाव।पूरा पढ़ीं → से जवन कबो ना ओराला। पहिला स्पिन के बाद रउआ एक इकाई आगे बानी भा एक इकाई पाछे। एकर का संभावना बा कि रउआ फेर कबो ठीक बराबर पर पहुँचब?
हल देखाईं
जवाब 37 में 36, 97.3%। अमेरिकी व्हील पर ई 38 में 36, 94.7% बा।
जदि पहिला स्पिन जीतेला (37 में 18 बेर), त रउआ एक इकाई आगे बानी, आ एज हर अंतहीन सत्र के नीचे खींचेला, एही से देर-सबेर रउआ बराबर से होके गुजरब: ई पक्का बा। जदि हारेला (37 में 19 बेर), त रउआ के एक इकाई चढ़े के पड़ी, आ कबो एक इकाई आगे होखे के संभावना 18/19 बा (ऊपर के तालिका देखीं)।
दूनो मिला के: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37।
आम तौर पर संभावना 1 घटा एगो स्पिन जीते आ हारे के संभावना के बीच के फरक होला: यूरोपीय व्हील पर 1 − 1/37, अमेरिकी पर 1 − 2/38। बिना शून्यव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → वाला खेल में फरक कुछुओ ना होला आ संभावना 1 बा: हिसाब हमेशा बराबर पर लउट आवेला। Epstein (2013) आम नियम देलें।
Pascal के 1656 के पहेली: दू खेलाड़ी तीन गो पासा फेंकेलें, हर एक 12 गोटी से सुरू करेला। हर 11 पहिला खेलाड़ी के एगो गोटी दियावेला, हर 14 दूसरका के एगो; बाकी फेंक ना गिनाला। पहिला खेलाड़ी के सभ 24 जीते के केतना संभावना बा? आ जदि रउआ एकरा बदले हर स्पिन पर लाल पर 1 इकाई लगाईं, एगो दोस्त के खिलाफ जे बैंक बनल बा, हर ओर 12 इकाई, त राउर सभ 24 जीते के केतना संभावना बा?
हल देखाईं
जवाब पहिला खेलाड़ी 1,158 में मोटा-मोटी 1,157 बेर जीतेला। रउआ, लाल पर, सभ 24 इकाई खाली मोटा-मोटी 34% बेर जीतब।
तीन गो पासा 27 तरीका से 11 बनावेला आ 15 तरीका से 14, एही से जवन भी गोटी चलेले ऊ 42 में 27 बेर, माने 14 में 9 बेर, पहिला खेलाड़ी के जाले। जब दूनो ओर 12 से सुरू होखे, त सभ कुछ जीते के संभावना 1/(1 + r¹²) बा, जहाँ r दोसरा ओर के संभावना आ राउर संभावना के अनुपात ह।
पहिला खेलाड़ी खातिर r = 5/9, आ (5/9)¹² ≈ 0.00086, एही से संभावना मोटा-मोटी 0.99914 बा: ऑड्स 9¹² के मुकाबले 5¹², माने 2,82,42,95,36,481 के मुकाबले 24,41,40,625, मोटा-मोटी 1,157 से 1। Huygens 1657 में ठीक इहे संख्या छपले रहलें।
लाल पर शून्य के चलते r = 19/18, आ (19/18)¹² ≈ 1.913: राउर संभावना 1/2.913 ≈ 34.3% बा। सिक्का 50% देत। हर दांव पर 2.70% के एज, जेतना दांव लागेला ओह सभ पर जुड़ के, 16 अंक के फरक बना देला।
हँसी के बीच
साहसी खेल सबसे बढ़िया बा। ई जल्दी खतम भी हो जाला।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”