लंबा समय में अभिसरण: रूलेट में बड़ संख्या के नियम
औसत −2.70% के ओर कइसे थिर होला, आ एह में अंदाजा से अधिका समय काहे लागेला।
स्पिन बढ़ला पर प्रति स्पिन औसत घाटा −1/37 के ओर अभिसरित होला, आ फैलाव 1/√N नियर घटेला। लाल पर 1,000 स्पिन के बाद औसत आमतौर पर अपना अपेक्षा के ±3% के भीतर रहेला।
बड़ संख्या के नियम
स्वतंत्र दांव सभ के चालू औसत अपेक्षित मानगणितअपेक्षित मानलंबा समय में हर दांव के औसत नतीजा। हर मानक यूरोपीय दांव खातिर दांव के रकम के −1/37।पूरा पढ़ीं → के ओर झुकेला। एक इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं → पर N गो सम-धन स्पिन के बाद प्रति स्पिन औसत नतीजा के अपेक्षा −1/37 बा आ मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण के वर्गमूल; कवनो नतीजा के अपेक्षित मान से आम दूरी।पूरा पढ़ीं → 1/√N बा। N = 100 पर ऊ फैलाव दांव के 10% बा, 2.7% संकेत से करीब चार गुना। N = 1,000 पर ऊ 3.2% बा, संकेत के लगभग बराबर। N = 10,000 पर ऊ 1% बा, आ एज साफ लउकेला। एक सत्र में एज लउकबे ना करे, आ एक बरिस में ओकरा पर कवनो शक ना रह जाला।
का अभिसरित होला आ का ना
प्रति स्पिन औसत अभिसरित होला। कुल ना: N बढ़ला पर ऊ शून्य से अउरी दूर खिसकेला, अपेक्षा में लगभग N के 2.7%, आ ओकरा चारों ओर √N के फैलाव रहेला। जवन खेलाड़ी $10 पर 10,000 स्पिन खेल चुकल बा, ओकरा $2,700 नीचे रहे के अपेक्षा बा, $1,000 आगे-पाछे। लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → के चालू अनुपात बहुत पहिले 48.65% के लगे थिर हो चुकल बा; चालू बैलेंस कहीं थिर नइखे भइल।
- p10 −$440
- p25 −$280
- माध्यिका −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
अंदाजा काहे चूक जाला
लोग सोचेला कि एज जल्दी लउकी, काहे कि 2.70% बहुत लागेला, आ सोचेला कि लंबा सिलसिला “बराबर हो जाई”, काहे कि बड़ संख्या के नियमगणितबड़ संख्या के नियमजइसे-जइसे कोशिश के गिनती बढ़ेला, स्वतंत्र नतीजा सभ के औसत अपेक्षित मान के ओर सरकत जाला।पूरा पढ़ीं → कहेला कि औसत अभिसरित होला। दुनो अंदाजा पैमाना गलत आँकेला: एगो स्पिन के प्रसरणगणितप्रसरणएगो नाप कि नतीजा अपेक्षित मान के चारो ओर केतना फइलल बा। स्ट्रेट-अप खातिर जादा, सम-धन दांव खातिर कम।पूरा पढ़ीं → के तुलना में एज छोट बा (σ = 1 इकाई, जबकि EV = 0.027), एही से एक-सिग्मा ले लउके में (1/0.027)² ≈ 1,400 स्पिन लागेला। आ औसत के अभिसरण कुल के वापस खींचे खातिर कुछ ना करे; ऊ बस पिछला उतार-चढ़ाव के पातर कर देला।
दोसर दांव सभ खातिर अभिसरण
स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → खातिर σ = 5.84 बा, एही से उहे हिसाब एज के एक सिग्मा ले पहुँचे खातिर (5.84/0.027)² ≈ 47,000 स्पिन देला। स्ट्रेट-अप खेलाड़ी बरिसन ले खेल सकेला आ ओकरा आपन रिकॉर्ड में एज के किस्मत से अलगा ना कइल जा सके, जबकि ऊ ठीक उहे 2.70% चुकावेला जवन लाल वाला खेलाड़ी चुकावेला, जेकरा ई कुछे हफ्ता में लउक जाला।
सिस्टम के जाँच खातिर एकर मतलब
जे केहू दावा करे कि कवनो सिस्टम काम करेला, ओकरा 10,000 भा ओहू से अधिका स्पिन पर दर्ज कइल सकारात्मक औसत देखावे के चाहीं। 1,000 स्पिन पर सम-धन में सकारात्मक औसत शून्य परिकल्पना में पाँच में एक बेर होखे वाला घटना ह; 100 स्पिन पर ऊ लगभग सिक्का उछाले जइसन बा। एह साइट के सिम्युलेटर एक सेकेंड में राउर चुनल लंबाई के 2,000 सत्र चला देला, जवन कवनो प्रशंसापत्र से अधिका सबूत बा।
सूत्र
सवाल
खेलत रहला पर फेर कबो आगे होखे के संभावनागणितसंभावनाकवनो नतीजा के मौका, 0 से 1 ले भा 0% से 100% ले। एगो नंबर: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ीं → शून्य के ओर घटत जाला। कुल बिना कवनो सीमा के नीचे खिसकत जाला।
ना। एकर मतलब बा कि पिछला उतार-चढ़ाव एगो बड़ नमूना के छोट हिस्सा बन जाला।
सम-धन खातिर लगभग 10,000, तब जाके एज साफ लउकेला। स्ट्रेट-अप खातिर लगभग 50,000।
गणित के साथे मनोरंजन
पहिले रउआ खुद आजमाईं। हर हल मोड़ के छिपावल बा; जब तइयार होखीं तब खोलीं।
दू गो दोस्त निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलअइसन खेल जवना में कवनो ओर के एज ना होखे: हर दांव के अपेक्षित मान शून्य होला।पूरा पढ़ीं → के 20 राउंड खेलेलें, सिक्का उछाल भा लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → बनाम करियादांवकरिया18 गो करिया नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: noir।पूरा पढ़ीं → जहाँ शून्यव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → पर दांव लउटा दिहल जाला, आ लगातार हिसाब राखेलें। गिनीं कि केतना राउंड में हर एक आगे बा (बराबरी ओकरा नाम गिनाला जे ठीक पहिले आगे रहे)। कवन बात जादा संभावित बा: कि बढ़त 10 राउंड बनाम 10 बँटाइल रहे, भा कि एगो दोस्त सभ 20 में आगे रहे?
हल देखाईं
जवाब एगो दोस्त के सभ 20 राउंड में आगे रहल बहुत जादा संभावित बा: 35.2%, दूनो में से कवनो दोस्त गिन के, बराबर 10 बनाम 10 के 6.1% के मुकाबले।
2k राउंड के बाद निष्पक्ष हिसाब के बराबर रहे के संभावना u = C(2k, k)/2²ᵏ बा: 10 राउंड के बाद 0.246 आ 20 के बाद 0.176। एगो पुरान नतीजा, आर्क-साइन नियम, कहेला कि कवनो एगो तय दोस्त के 2n में से ठीक 2k राउंड आगे रहे के संभावना u(2k) × u(2n − 2k) बा।
सभ 20 में आगे: हर दोस्त खातिर u(20) × u(0) = 0.176, दूनो में से कवनो खातिर 35.2%। बराबर बँटवारा: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, सभ बँटवारा में सबसे कम संभावित।
एही से निष्पक्ष खेल में बढ़त कम्मे हाथ बदलेला। जवन खेलाड़ी पूरा साँझ आगे रहल, भा पूरा साँझ पाछे, ऊ कुछ अनोखा ना देखले बा, आ एकरा से व्हील भा हुनर के बारे में कुछुओ पता ना चले। Epstein (2013) लंबा खेल खातिर इहे नियम देलें: आधा बेर भागशाली पक्ष खेल के 85% से जादा समय आगे रहेला।
हँसी के बीच
औसत अभिसरित होला। कुल बस दूर चल जाला।
स्रोत
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.