रूलेट में लगातार नतीजा के सिलसिला के संभावना
एके रंग के लमहर सिलसिला आम बात ह। अगिला स्पिन खातिर एकर कवनो मतलब ना होला।
लगातार पाँच गो लाल: 2.7%। दस गो: 0.074%। 200 स्पिन के सत्र में एके रंग के छव वाला सिलसिला आधा से जादा बेर आ जाला।
लगातार हार के सिलसिला केतना बेर आवेला
एक शून्य वाला व्हील पर सम-धन दांव 37 में से 19 स्पिन में हारेला। हर पाँत ई संभावना बतावेला कि तय गिनती के लगातार सभ स्पिन हार जाव, आ ई कि हर हार के बाद दांव दोगुना करे वाला मार्टिंगेल खेलाड़ी तब ले केतना हार चुकल बा।
| लगातार हार | संभावना | मोटा-मोटी 1 में | अब ले हारल | अगिला दांव |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
संभावना 19/37 के हर हार खातिर एक बेर अपने से गुणा कइला से मिलेला, आ गिनती कवनो एगो तय स्पिन से होला। लंबा सत्र में अइसन बहुत स्पिन होला जहाँ से अइसन सिलसिला शुरू हो सकेला, एही से एक साँझ में ई एगो पाँत के बतावल से कहीं जादा संभव बा।
एगो सिलसिला
अगिला k स्पिन सभ लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → आवे के संभावनागणितसंभावनाकवनो नतीजा के मौका, 0 से 1 ले भा 0% से 100% ले। एगो नंबर: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ीं → (18/37)ᵏ बा। दू: 23.7%। पाँच: 2.7%। दस: 0.074%, मोटा-मोटी 1,350 में 1। बीस: 1.8 मिलियन में 1। छब्बीस, मोंटे कार्लो के रिकॉर्ड: 137 मिलियन में 1। ई सभ कवनो खास स्पिन से शुरू होखे वाला खास सिलसिला के संभावना ह, आ ई सवाल लगभग केहू सचमुच ना पूछत होला।
एगो सत्र में
लोग जवन सवाल पूछे के चाहेलें ऊ ई बा कि “का हमरा सत्र में कहीं k वाला सिलसिला आई?”, आ एकर जवाब (18/37)ᵏ से बहुत बड़ बा, काहे कि 200 स्पिन के सत्र में सिलसिला शुरू होखे खातिर लगभग 200 गो जगह होला। एके रंग, लाल भा करियादांवकरिया18 गो करिया नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: noir।पूरा पढ़ीं →, के छव भा ओकरा से जादा वाला सिलसिला 200 स्पिन के सत्र में मोटा-मोटी 94% बेर आ जाला; आठ भा जादा वाला मोटा-मोटी 47%; दस भा जादा वाला मोटा-मोटी 14%। पहिलहीं से रंग तय कर दीं त मौका घट के मोटा-मोटी 75%, 27% आ 7% हो जाला। जवन खेलाड़ी साँझ भर बइठेला, ऊ हर साँझ लमहर सिलसिला देखी।
मार्टिंगेल के एकर फिकिर काहे बा
हर नकारात्मक प्रगति-क्रमरणनीतिप्रगति-क्रमकवनो नियम जवन पिछला नतीजा के हिसाब से दांव के रकम बदलेला। नकारात्मक प्रगति-क्रम हार के बाद दांव बढ़ावेला, सकारात्मक जीत के बाद।पूरा पढ़ीं → के एगो सिलसिला के लंबाई होला जवन ओकरा के तोड़ देला: $500 के सीमा पर $10 के आधार से छव गो हार, फ़िबोनाचीरणनीतिफ़िबोनाचीप्रगति-क्रम जवन 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… वाला क्रम पर चलेला: हार के बाद एक डेग आगे, जीत के बाद दू डेग पाछे।पूरा पढ़ीं → खातिर दस, दर्जनदांवदर्जन1–12, 13–24 भा 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ीं → पर तिगुना करे खातिर पाँच। सम-धन पर छव गो हार के सिलसिला के संभावना हर कोसिस में (19/37)⁶ ≈ 1.8% बा, आ 200 स्पिन के सत्र में शायद 100 गो कोसिस होला, एही से ओतना लमहर पाँच में से मोटा-मोटी चार सत्र में टूटन आ जाला। रूलेट में सिलसिला के संभावना ही कारण बा कि ई खाई दुर्लभ ना ह।
गरम आ ठंडा नंबर
इहे हिसाब स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → पर भी लागू होला। 300 स्पिन में हर नंबर के अपेक्षित गिनती 8.1 बा; मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण के वर्गमूल; कवनो नतीजा के अपेक्षित मान से आम दूरी।पूरा पढ़ीं → मोटा-मोटी 2.8 बा। खाली संजोग से कवनो नंबर 15 बेर आई आ कवनो 2 बेर, हर बेर। जवन नतीजा बोर्ड “गरम” नंबर के चमकावेला, ऊ सामान्य बँटवारा के ऊपरी छोर चमकावत बा। लैब बतावेला कि गरम नंबरभरमगरम नंबरअइसन नंबर जवन हाल में उमेद से जादा बेर आइल बा। निष्पक्ष व्हील पर एकरा से कुछुओ ना पता चलेला।पूरा पढ़ीं → के कवनो मतलब निकले में केतना स्पिन लागेला (हजारन, एगो पहचानल व्हील से)।
स्वतंत्रता ही असली बात ह
लगातार दस गो लाल से करिया के संभावना ना बढ़े, आ लाल के भी ना बढ़े। दूनो 18/37 बा। सिलसिला बेतरतीब क्रम के गुण ह, आ ई ना होखे त शक होखे के चाहीं: 200 स्पिन के अइसन क्रम जवना में चार से लमहर कवनो सिलसिला ना होखे, ऊ बारह वाला सिलसिला वाला क्रम से बहुत जादा छेड़छाड़ के सबूत होई।
सूत्र
सवाल
18 अगस्त 1913 के मोंटे कार्लो में 26 गो करिया वाला सबसे मशहूर बा। 1943 में एगो अमेरिकी कसीनो में लगातार 32 गो लाल के खबर आइल रहे। कसीनो जेतना स्पिन चलावेला, ओकरा हिसाब से दूनो संजोग से मेल खाला।
दूनो हालत में 18/37 बा। ओह पर दांव लगाईं जवन राउर योजना कहत बा, भा कुछ ना लगाईं।
ना। पक्षपात हजारन स्पिन में कुछ पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर बनल 37 गो नंबर वाला खाना में से एगो। दोसर नाम: slot, cup।पूरा पढ़ीं → के जादा बेर आवे से लउकेला, रंग के सिलसिला से ना।
गणित के साथे मनोरंजन
पहिले रउआ खुद आजमाईं। हर हल मोड़ के छिपावल बा; जब तइयार होखीं तब खोलीं।
यूरोपीय व्हील के औसतन केतना स्पिन लागेला, जब ले सभ 37 नंबर कम से कम एक बेर ना आ जास?
हल देखाईं
जवाब औसतन मोटा-मोटी 155 स्पिन; माध्यिका 147 बा।
इंतजार के एक-एक नया नंबर करके गिनीं। पहिला स्पिन हमेशा नया नंबर देखावेला। जब रउआ 1 नंबर देख लेले बानी, त 37 में 36 पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर बनल 37 गो नंबर वाला खाना में से एगो। दोसर नाम: slot, cup।पूरा पढ़ीं → नया बा, एही से अगिला नया नंबर में औसतन 37/36 स्पिन लागेला। जब k नंबर देख लेले बानी, त 37/(37 − k) लागेला।
सभ इंतजार जोड़ीं: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 स्पिन।
एकर जादातर हिस्सा आखिर में बा। खाली आखिरी नंबर में औसतन 37 स्पिन लागेला, आ आखिरी पाँच में मोटा-मोटी 85। अमेरिकी व्हील पर इहे जोड़ मोटा-मोटी 161 देला। ई कूपन कलेक्टर के सवाल ह; इहे औसत मानक हिसाब से निकलेला।
यूरोपीय व्हील के 37 स्पिन में, हर पॉकेट खातिर एगो स्पिन, रउआ केतना अलग-अलग नंबर देखे के उमेद करे के चाहीं?
हल देखाईं
जवाब मोटा-मोटी 23.6। मोटा-मोटी एक तिहाई नंबर, लगभग 13, एको बेर ना आवेला।
एगो नंबर लीं, जइसे 17। हर स्पिन पर ऊ 36/37 संभावना से ना आवेला, एही से सभ 37 स्पिन में ओकरा ना आवे के संभावना (36/37)³⁷ ≈ 0.363 बा।
हर नंबर के इहे संभावना बा, एही से औसतन 37 × 0.363 ≈ 13.4 नंबर छूट जाला आ 37 − 13.4 ≈ 23.6 आवेला, ओह में से बहुत दू बेर भा ओकरो से जादा।
रूलेट के खेलाड़ी एकरा के तिहाई के नियम कहेलें। ई कवनो नियम ना ह, खाली दोहराव के अंकगणित ह: व्हील जेतना लंबा सिलसिला में मोटा-मोटी एक तिहाई नंबर बाहर बइठ जाला, निष्पक्ष व्हील पर भी, आ कवनो दोसरा पर भी। 38 पॉकेट पर हिस्सा भी (37/38)³⁸ ≈ 0.363 बा; बड़ व्हील खातिर ई 1/e ≈ 0.368 के लगे थिर हो जाला।
एगो दोस्त रउआ के 50 रंग, लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → भा करियादांवकरिया18 गो करिया नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: noir।पूरा पढ़ीं →, के दू गो सूची देखावत बाड़न, कहल जाता कि दूनो शून्यव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → के छोड़ के एगो व्हील से आइल बा। एगो में रंग 25 बेर बदलेला आ ओकर सबसे लंबा सिलसिला छव बा। दोसरा में रंग 35 बेर बदलेला आ कबो तीन से आगे ना जाला। कवन वाला गढ़ल बा?
हल देखाईं
जवाब दोसरका। असली सूची में रंग मोटा-मोटी 24 भा 25 बेर बदलेला। 35 बदलाव वाला सूची 500 सूची में मोटा-मोटी एक बेर आवेला, आ जवना में तीन से लंबा कवनो सिलसिला ना होखे ऊ 100 में मोटा-मोटी दू बेर।
हर नया रंग या त पिछला के दोहरावेला या बदल जाला, आधा-आधा, एही से बदले के 49 मौका औसतन 24.5 बदलाव देला, मोटा-मोटी 3.5 ऊपर-नीचे। पैंतीस औसत से अइसन तीन डेग ऊपर बा; निष्पक्ष व्हील ओतना बदलाव 500 सूची में मोटा-मोटी एक बेर देला।
सिलसिला भी इहे कहानी कहेला। 50 के असली सूची में मोटा-मोटी 98% बेर चार भा ओकरा से लंबा सिलसिला होला, आ ओकर सबसे लंबा सिलसिला जादातर पाँच भा छव होला।
जब लोग से बेतरतीब सूची गढ़े के कहल जाला त ऊ लोग बहुत जादा बेर रंग बदलेला, काहे कि चार भा पाँच के सिलसिला ओह लोग के कवनो पैटर्न जइसन लउकेला। Taylor (2021) विद्यार्थियन के गढ़ल सिक्का उछाल के सूची में इहे निशानी देखावेलें: असली बेतरतीबी में लोग के उमेद से जादा सिलसिला होला।
कसीनो के किस्सा के एगो किताब एगो खेलाड़ी के बात बतावेले जेकर नंबर लगातार पाँच बेर आइल आ एकरा के रिकॉर्ड कहेले। यूरोपीय व्हील पर ई केतना दुर्लभ बा? आ 20 टेबल वाला एगो कसीनो में, जहाँ हर टेबल दिन-रात घंटा में 40 बेर घूमेला, कहीं न कहीं ई केतना बेर होखे के चाहीं?
हल देखाईं
जवाब पहिले से बतावल नंबर लगातार पाँच बेर: 69 मिलियन में 1। कवनो नंबर पहिला बेर अइला के बाद चार बेर अउरी: 1.87 मिलियन में 1। ऊ कसीनो साल में मोटा-मोटी 7 मिलियन स्पिन करेला, एही से ओकरा साल में तीन-चार बेर पाँच के सिलसिला देखे के चाहीं।
पहिले से बतावल नंबर हर स्पिन पर 1/37 संभावना से आवेला, एही से लगातार पाँच के संभावना (1/37)⁵ = 6,93,43,957 में 1 बा। बाकिर केहू पहिले से नंबर ना बतावे। पहिले जवन भी आवे, अगिला चार स्पिन में ओकरे दोहरावे के पड़ी: (1/37)⁴ = 18,74,161 में 1।
20 टेबल × 40 स्पिन × 24 घंटा × 365 दिन = साल में 70,08,000 स्पिन। हर स्पिन से सिलसिला सुरू हो सकेला, एही से कसीनो साल में 70,08,000/18,74,161 ≈ 3.7 बेर पाँच के सिलसिला के उमेद करेला।
अइसन कवनो सरकारी रिकॉर्ड नइखे, आ एकर जरूरतो नइखे: एगो टेबल पर दुर्लभ घटना पूरा कसीनो में आम बात ह, आ किस्सा ओही टेबल के सुनावल जाला जहाँ ई भइल। Goldman (2007) में ई किस्सा डबल-ज़ीरो व्हील पर बा, जहाँ आँकड़ा 79 मिलियन में 1 आ 2.09 मिलियन में 1 बा।
हँसी के बीच
लमहर सिलसिला ही बेतरतीबी के असली चेहरा ह।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.