केली मानदंड आ रूलेट
Kelly कसौटी एज वाला दांव लगावे वाला के बतावेले कि केतना दांव लगावे के बा। रूलेट खातिर एकर जवाब साफ बा: कुछुओ ना।
Kelly दांव = एज / ऑड्स। नकारात्मक एज पर सूत्र नकारात्मक भिन्न देला, जेकर मतलब बा दांव मत लगाईं। तबो ई समझे में काम आवेला कि पक्षपात के फायदा उठावे वाला खेलाड़ी आपन दांव के आकार ओइसन काहे तय करत रहलें, आ बाकी सभ के आकार बजट के हिसाब से काहे तय करे के चाहीं।
कसौटी
John Kelly (1956) पूछलें कि जवना जुआरी के एज मालूम बा, ऊ खेले के पूँजीपइसाखेले के पूँजीखेले खातिर अलगा रखल कुल रकम। पूँजी के संभाल माने ई तय कइल कि हर दांव आ हर सत्र में एकर केतना हिस्सा जोखिम में डालल जाव।पूरा पढ़ीं → के लंबा समय के बढ़ंती सबसे अधिका करे खातिर दांव के आकार कइसे तय करे। b से 1 भुगतान वाला दांव में, जहाँ जीत के संभावनागणितसंभावनाकवनो नतीजा के मौका, 0 से 1 ले भा 0% से 100% ले। एगो नंबर: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ीं → p बा आ हार के संभावना q = 1 − p, जवाब ई बा कि खेले के पूँजी के भिन्न f* = (bp − q) / b लगावल जाव। धनात्मक f* के मतलब ऊ भिन्न लगाईं; शून्य भा ऋणात्मक के मतलब दांव मत लगाईं। Kelly Bell Labs में काम करत रहलें, आ उनकर लेख “A new interpretation of information rate” एह सवाल के Claude Shannon के सूचना सिद्धांत में रखलस: जवन जुआरी शोर वाला लाइन पर सलाह पावेला, ऊ निष्पक्ष ऑड्स पर खेले के पूँजी के बेसी से बेसी ओही दर से बढ़ा सकेला जवना दर से लाइन सूचना ले जाले। 1961 में Leo Breiman साबित कइलें कि Kelly दांव लंबा समय में कवनो मूल रूप से अलग रणनीति से आगे रहेला आ तय लक्ष्य ले लगभग सबसे कम समय में पहुँचेला।
रूलेट में Kelly दांव
लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → खातिर: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37। स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → खातिर: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295। हर मानक दांव नकारात्मक Kelly भिन्न देला, काहे कि हर दांव के एज नकारात्मक बा, आ बढ़ंती खातिर सबसे बढ़िया दांव शून्य बा। रूलेट पर Kelly दांव ओही बात के औपचारिक ढंग से कहे के तरीका ह जवन हाउस एज वाला पन्ना कहेला: अइसन कवनो आकार नइखे जवना पर नकारात्मक अपेक्षा वाला दांव खेले के पूँजी बढ़ा दे।
जहाँ Kelly सचमुच लागू भइल
पक्षपात के फायदा उठावे वाला खेलाड़ी लोग लगे एज भी रहे आ आकार तय करे के समस्या भी। Jagger, García-Pelayo परिवार आ Eudaemons, सभ के तय करे के पड़ल कि नापल फायदा पर केतना दांव लगावल जाव; कम दांव एज के बरबाद करेला, आ जादा दांव एज लउके से पहिले कंगाल होखे के खतरा उठावेला। जवन पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर बनल 37 गो नंबर वाला खाना में से एगो। दोसर नाम: slot, cup।पूरा पढ़ीं → 30 में 1 बेर आवेला, ओकरा खातिर Kelly कहेला कि ओह नंबर पर हर स्पिन खेले के पूँजी के 0.57% लगाईं: $10,000 पर लगभग $57 प्रति स्पिन, जवना से आम बढ़ंती लगभग 0.054% प्रति स्पिन होला, भा 1,000 स्पिन में ×1.7। औसत फायदा एकर दुगुना बा, 0.11% प्रति स्पिन, बाकिर Kelly आम खेले के पूँजी के निशाना बनावेला, औसत के ना, जवना के कुछ किस्मत वाला सिलसिला फुला देला। एज के अनुमान पक्का ना होखे के कारण Half-Kelly आमतौर पर व्यावहारिक चुनाव होला।
आम आ औसत
आम खेले के पूँजी आ औसत वाली के बीच के फरक बड़ बा। अइसन पॉकेट लीं जवन 25 में 1 बेर आवेला, 44% के एज, जवन आँकड़ा Thorp आपन उपकरण खातिर देले रहलें। Kelly ओह पर खेले के पूँजी के 1.26% लगावेला। 1,000 स्पिन के बाद आम खेले के पूँजी लगभग 11.5 गुना बढ़ चुकल बा, जबकि औसत, जवना के कुछ बहुते किस्मत वाला सिलसिला ऊपर खींच देले बा, लगभग 249 गुना बढ़ल बा। Kelly से अधिका दांव औसत बढ़ावेला आ आम नतीजा घटावेला: Kelly दांव के दुगुना पर आम खेले के पूँजी खाली दुगुना होला, आ Kelly दांव के ढाई गुना पर ऊ घटे लागेला, भले हर दांव पर अबहियों 44% एज बा। कम दांव के दाम कम बा: आधा दांव बढ़ंती के लगभग तीन चौथाई बचा लेला।
जब एज खाली अंदाजा होखे
Kelly मान के चलेला कि एज मालूम बा। टेबल पर ओकर अंदाजा लगावल जाला, आ अंदाजा अक्सर जादा ऊँच होला। Thorp के 44% पर बनल Epstein के उदाहरण एगो अइसन नंबर बा जवन डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → व्हील के 1,225 स्पिन में 49 बेर आइल: 25 में 1 बेर, 44% एज, 1.26% के Kelly दांव। बाकिर निष्पक्ष डबल-ज़ीरो व्हील में 38 गो नंबर होला, आ ओह में सबसे व्यस्त नंबर 1,225 स्पिन में 49 भा ओहू से अधिका ले लगभग नौ में एक बेर पहुँच जाला। कवनो रिकॉर्ड के सबसे व्यस्त नंबर उहे होला जेकर सबसे अधिका मदद किस्मत कइले बा, एही से सचमुच पक्षपाती पॉकेट भी रिकॉर्ड में असलियत से बढ़िया लउकेला: विजेता के अभिशाप। अगर ऊ पॉकेट असल में निष्पक्ष बा, त Kelly दांव बस एगो अइसन दांव ह जवन औसतन 5.26% हारेला। आम जवाब ई बा कि Kelly के एगो हिस्सा लगाईं आ गिनती तब ले जारी रखीं जब ले नया रिकॉर्ड में एज टिकल ना लउके (“रूलेट व्हील के पक्षपात कइसे पकड़ीं” देखीं)।
एज वाला लोग
एज जानल आ ओकरा के ठीक से इस्तेमाल कइल एके बात ना ह। Haghani आ Dewey (2016) 61 लोग में हर एक के $25 देलें कि आधा घंटा ले एगो अइसन सिक्का पर दांव लगावस जेकरा बारे में बतावल गइल रहे कि ऊ 60% बेर हेड आवेला; जीत $250 पर रोकल रहे (खेलाड़ी लोग के सीमा के पता तबे चलल जब ऊ ओह ले पहुँचलें)। Kelly कहेला कि हर बेर हेड पर खेले के पूँजी के 20% लगाईं, आ लेखक लोग के अंदाजा बा कि 10–20% के थिर दांव लगभग 95% बेर सीमा ले पहुँच जइतें। खाली 21% खेलाड़ी उहाँ पहुँचलें। 28% कंगाल हो गइलें, 61 में से 18 एके उछाल पर सब कुछ लगा देलें, लगभग एक तिहाई आपन शुरुआती $25 से नीचे खतम कइलें, आ औसत भुगतानपइसाभुगतानजीतल दांव पर जवन मिलेला, “X पर 1” के रूप में बतावल, लवटावल दांव के ऊपर से।पूरा पढ़ीं → $91 रहे। 61 में से खाली पाँच लोग Kelly कसौटी के नाम सुनले रहलें। एज होखे त दांव के आकार तय करेला कि रउआ ओकरा के बचा पाइब कि ना; एज ना होखे, जइसे निष्पक्ष व्हील पर, त कवनो आकार मदद ना करे।
एकरा बदले का अपनाईं
एज के बिना आकार तय कइल बढ़ंती के ना, बजट के सवाल ह: दांव = ऊ रकम जवन रउआ हर स्पिन पर खरचे खातिर तइयार बानी, जवन घंटा के बजट आ टेबल के रफ्तार से निकलेला (खेले के पूँजी के प्रबंधन वाला पन्ना)। आम खेलाड़ी खातिर Kelly के योगदान ओकरा जवाब के साफाई बा: शून्य। शून्य से ऊपर जवन कुछ रउआ लगावत बानी ऊ खेले के दाम ह, जवना के रउआ चुनत बानी, कवनो सूत्र एकरा के अनुकूल ना बनावेला।
भिन्नात्मक Kelly आ “मनी मैनेजमेंट” पर एगो बात
“रूलेट खातिर Kelly” के नाम से बेचल जाए वाला सिस्टम, जवन हर दांव पर खेले के पूँजी के तय प्रतिशत लगावे के सलाह देला, असल में घटत दांव के साथे स्थिर दांवरणनीतिस्थिर दांवहर स्पिन पर एके रकम के दांव। हर प्रगति-क्रम के एही से तुलना कइल जाला।पूरा पढ़ीं → ह। ऊ कुल दांव-रकमपइसाकुल दांव-रकमकवनो सत्र भा समय में लगावल कुल रकम, फेर से लगावल जीत समेत। दोसर नाम: handle, action।पूरा पढ़ीं → के 2.70% हारेला, आ काहे कि हारला पर दांव घटत जाला, ऊ कंगाली के असंभव ना, बस धीमा बना देला। बजट के देर ले चलावे के ई ठीक-ठाक तरीका हो सकेला; बाकिर ई Kelly ना ह, जवन रुके के कहित।
सूत्र
सवाल
खाली नापल एज होखे तब, पक्षपाती व्हीललैबपक्षपाती व्हीलअइसन व्हील जवना के भौतिक खराबी से कुछ पॉकेट के संभावना 1/37 से जादा हो जाला। बहुत कम मिलेला, आ हजारन दर्ज स्पिन से ही पकड़ में आवेला।पूरा पढ़ीं → भा टाइमिंग उपकरण से। निष्पक्ष व्हील पर ना।
काहे कि एज के अंदाजा में गलती होला, आ जादा दांव के नुकसान कम दांव से महँगा पड़ेला। Half-Kelly एक चौथाई प्रसरणगणितप्रसरणएगो नाप कि नतीजा अपेक्षित मान के चारो ओर केतना फइलल बा। स्ट्रेट-अप खातिर जादा, सम-धन दांव खातिर कम।पूरा पढ़ीं → पर बढ़ंती के तीन चौथाई देला।
ना। Kelly एज होखे पर बढ़ंती के अनुकूल बनावेला। खेले के पूँजी के प्रबंधन एज ना होखे पर खरच के काबू में रखेला।
गणित के साथे मनोरंजन
पहिले रउआ खुद आजमाईं। हर हल मोड़ के छिपावल बा; जब तइयार होखीं तब खोलीं।
Thorp आ Shannon के भविष्यवाणी वाला उपकरण मोटा-मोटी 44% के एज देत रहे। एगो भविष्यवाणी कइल नंबर पर Kelly कहेला कि खेले के पूँजीपइसाखेले के पूँजीखेले खातिर अलगा रखल कुल रकम। पूँजी के संभाल माने ई तय कइल कि हर दांव आ हर सत्र में एकर केतना हिस्सा जोखिम में डालल जाव।पूरा पढ़ीं → के 1.26% लगाईं। जदि ओही 44% के एज पाँच गो पड़ोसी नंबर पर फइलल एगो दांव पर मिले त?
हल देखाईं
जवाब तब Kelly पूँजी के 7.1% कहेला, आ पूँजी लगभग छव गुना तेजी से बढ़ेले: 1,000 दांव में मोटा-मोटी 1.25 मिलियन गुना, मोटा-मोटी 11.5 गुना के मुकाबले।
44% एज वाला स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → 0.04 संभावना से जीतेला, काहे कि 36 × 0.04 = 1.44। Kelly के दांव एज भाग ऑड्स बा: 0.44/35 = 1.26%। हर दांव पर आम बढ़त 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 बा, एही से 1,000 दांव पूँजी के मोटा-मोटी e^2.44 ≈ 11.5 से गुणा करेला।
एगो दांव के पाँच नंबर पर फइलाईं त दांव 0.20 संभावना से जीतेला आ 1 के बदले 36/5 देला, माने 6.2 से 1: अबो 44% के एज, काहे कि 0.2 × 7.2 = 1.44। Kelly के दांव 0.44/6.2 = 7.10% हो जाला, आ हर दांव पर बढ़त 0.01404, मोटा-मोटी 5.75 गुना। 1,000 दांव में ई e^14.04 बा, मोटा-मोटी 1.25 मिलियन।
एज ओतने बा; उतार-चढ़ाव छोट बा। जवन दांव पाँच में एक बेर जीतेला ऊ बिना बरबादी के खतरा के पूँजी के बड़ हिस्सा उठा सकेला, आ Kelly के बढ़त ओकर इनाम देला। Thorp (1984) एह उदाहरण से देखावेलें कि भविष्यवाणी करे वाला खेलाड़ी सेक्टरव्हीलसेक्टरव्हील पर लगातार पॉकेट के एगो चाप, लेआउट पर के कवनो समूह से अलग चीज।पूरा पढ़ीं → पर काहे दांव लगावेलें। व्यवहार में पाँच गो पड़ोसीदांवपड़ोसीव्हील पर एगो नंबर आ ओकरा दूनो ओर के दू-दू पॉकेट, पाँच गो स्ट्रेट-अप चिप।पूरा पढ़ीं → पर एज अकेला सबसे बढ़िया नंबर से तनी कम होला (रूलेट में एडवांटेज प्ले देखीं)।
एगो खेलाड़ी दू गो पड़ोसी पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर बनल 37 गो नंबर वाला खाना में से एगो। दोसर नाम: slot, cup।पूरा पढ़ीं → खोज लेले बाड़न जवन 37 में 1 के बदले 25 में 1 बेर आवेला। का ऊ दूनो के बीच के स्प्लिटदांवस्प्लिटसटल दू गो नंबर, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ीं → पर 17 से 1 पर दांव लगावस, भा हर नंबर पर स्ट्रेट-अप? Kelly केतना कहेला, आ एगो अइसन पॉकेट के मुकाबले पूँजी केतना तेजी से बढ़ेले?
हल देखाईं
जवाब कवनो फरक ना पड़े: स्प्लिट पर पूँजी के 2.59%, भा हर नंबर पर 1.29%। आम पूँजी 1,000 स्पिन में मोटा-मोटी 155 गुना बढ़ेले, एगो पॉकेट से 11.5 गुना के मुकाबले।
स्प्लिट 2/25 = 0.08 के संभावनागणितसंभावनाकवनो नतीजा के मौका, 0 से 1 ले भा 0% से 100% ले। एगो नंबर: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ीं → से जीतेला आ 17 से 1 देला, एही से लगावल हर इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं → पर 18 × 0.08 = 1.44 लउटावेला: 44% के एज, एगो पक्षपाती पॉकेट जेतना। Kelly के दांव एज भाग ऑड्स बा: 0.44/17 = 2.59%।
1.29% के दू गो स्ट्रेट-अप दांव ठीक ओइसने नतीजा देला। जब कवनो एगो नंबर आवेला, त एगो चिपपइसाचिपएगो तय रकम के बदला में टोकन, जवन दांव लगावे खातिर लेआउट पर रखल जाला। दोसर नाम: check।पूरा पढ़ीं → 35 से 1 जीतेला आ दोसरका चल जाला, शुद्ध 34 × 1.29% = पूँजी के 44%, जेतना स्प्लिट देला; जब कवनो ना आवे, त दूनो चल जाला।
हर स्पिन पर बढ़त 0.00505 बा, एगो पॉकेट के 0.00244 के मुकाबले, एही से 1,000 स्पिन में आम पूँजी e^2.44 ≈ 11.5 गुना के बदले e^5.046 ≈ 155 गुना बढ़ेले। दू गो बढ़िया नंबर एगो के दुगुना से बहुत जादा कीमती बा, एही से पक्षपात खोजे वाला खेलाड़ी नंबर के समूह पर दांव लगावेलें। Thorp (1984) इहे तुलना करेलें।
हँसी के बीच
बढ़ंती खातिर सबसे बढ़िया रूलेट दांव ऊ संख्या ह जवन सभे पहिले से जानेला।
स्रोत
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”