रूलेट के हाउस एज
हर दांव के ऊ हिस्सा जवन कसीनो औसतन अपना लगे रख लेला।
यूरोपीय रूलेट: हर मानक दांव पर 2.70%, काहे कि भुगतान अइसे गिनल जाला जइसे 36 गो पॉकेट होखे, जबकि पॉकेट 37 गो बा।
हिसाब कहाँ से आवेला
स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → के निष्पक्ष ऑड्स 36 से 1 होखे के चाहीं, काहे कि जीते के हर एगो रास्ता के बदले हारे के 36 गो रास्ता बा। कसीनो 35 से 1 देला। ऊ गायब इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं →, 37 गो बराबर संभावना वाला नतीजा पर बँटा के, हर स्पिन पर दांव के 1/37 = 2.70% बनेला। इहे कमी हर भुगतानपइसाभुगतानजीतल दांव पर जवन मिलेला, “X पर 1” के रूप में बतावल, लवटावल दांव के ऊपर से।पूरा पढ़ीं → में लउकेला, काहे कि हर भुगतान 36/n − 1 वाला नियम से चलेला: स्प्लिटदांवस्प्लिटसटल दू गो नंबर, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ीं → 17.5 के जगह 17 देला, दर्जनदांवदर्जन1–12, 13–24 भा 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ीं → 2.083 के जगह 2, लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → 1.056 के जगह 1। कमी हर जीत पर हमेशा 1/n इकाई होला, आ हर स्पिन में n/37 जीत होला, एही से हर स्पिन पर हमेशा 1/37।
एज बनाम होल्ड
एज लगावल हर इकाई पर अपेक्षित घाटागणितअपेक्षित घाटाअपेक्षित मान गुणा कुल लगावल रकम; कवनो सत्र भा समय में औसतन होखे वाला घाटा।पूरा पढ़ीं → ह: हर स्पिन पर 2.70%। होल्डपइसाहोल्डखेलाड़ी जवन पइसा टेबल पर ले आवेलें, ओकर ऊ हिस्सा जवन कसीनो सचहूँ रख लेला। ई हाउस एज से जादा होला काहे कि जीतल रकम फेर से दांव पर लाग जाला।पूरा पढ़ीं → ऊ ह जवन कसीनो सचमुच राउर टेबल पर ले आइल पइसा में से रख लेला, आ ई बहुत जादा होला काहे कि रउआ आपन जीतल रकम फेर से दांव पर लगा देनी। $100 के बाय-इनटेबलबाय-इनटेबल पर नगद के चिप से बदलल। ई दू स्पिन के बीच होला, आ नगद डीलर के हाथ में ना, लेआउट पर रखल जाला।पूरा पढ़ीं →, जवन 200 स्पिन में हर बेर $10 करके लगावल गइल, $2,000 के कुल दांव-रकम बन गइल आ मोटा-मोटी $54 एज में चल गइल; ओह बाय-इन पर होल्ड 54% बा। कसीनो होल्ड बतावेला; खेलाड़ी के एज के हिसाब से सोचे के चाहीं।
हर दांव के एज एके काहे बा
ई सोच-समझ के बनावल गइल बा, संजोग ना ह। 36/n − 1 वाला नियम 18वीं सदी में तय भइल रहे आ डबल ज़ीरोरूपांतरडबल ज़ीरोअमेरिकी व्हील के 00 वाला पॉकेट। एकरा रहला से हाउस एज 2.70% से बढ़ के 5.26% हो जाला।पूरा पढ़ीं → बाद में हटावल गइल, भुगतान के छुए बिना। अगर 37 गो पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर बनल 37 गो नंबर वाला खाना में से एगो। दोसर नाम: slot, cup।पूरा पढ़ीं → खातिर भुगतान निष्पक्ष रहित, त स्ट्रेट-अप 36 से 1 देइत आ कसीनो के कवनो कमाई ना होइत। एके बरोबर एज सुविधाजनक बा: रूलेट के कवनो दांव दोसरा के मुकाबले “बेवकूफ वाला दांव” ना ह, खाली एगो अपवाद बा, अमेरिकी पाँच-नंबर वाला दांव, जवना पर 7.89% बा।
रूलेट के एज का ना ह
ई कवनो सत्र हारे के संभावनागणितसंभावनाकवनो नतीजा के मौका, 0 से 1 ले भा 0% से 100% ले। एगो नंबर: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ीं → ना ह; जादातर छोट सत्र के फैसला प्रसरणगणितप्रसरणएगो नाप कि नतीजा अपेक्षित मान के चारो ओर केतना फइलल बा। स्ट्रेट-अप खातिर जादा, सम-धन दांव खातिर कम।पूरा पढ़ीं → करेला, आ 100 स्पिन वाला सम-धन सत्र में से मोटा-मोटी 42% फायदा में खतम होला। ई हर सत्र के कवनो फीस ना ह; ई कुल दांव-रकमपइसाकुल दांव-रकमकवनो सत्र भा समय में लगावल कुल रकम, फेर से लगावल जीत समेत। दोसर नाम: handle, action।पूरा पढ़ीं → के साथे बढ़ेला, एही से जवन प्रगति-क्रमरणनीतिप्रगति-क्रमकवनो नियम जवन पिछला नतीजा के हिसाब से दांव के रकम बदलेला। नकारात्मक प्रगति-क्रम हार के बाद दांव बढ़ावेला, सकारात्मक जीत के बाद।पूरा पढ़ीं → जादा दांव लगावेला, ऊ जादा भरेला। एकरा के कवनो दांव के पैटर्न से पतला ना कइल जा सके, काहे कि एके साथे लगावल दांव सभ के एज ओह लोग के रकम के अनुपात में जुड़ जाला।
पइसा में
हर $1,000 के दांव पर अपेक्षित घाटा यूरोपीय रूलेटरूपांतरयूरोपीय रूलेटएक शून्य वाला व्हील, 37 गो पॉकेट, हाउस एज 2.70%। एह साइट के मूल मॉडल।पूरा पढ़ीं → में $27.03 बा, अमेरिकी में $52.63, आ La partageनियमLa partageफ़्रेंच नियम: जब शून्य आवेला, सम-धन दांव के आधा रकम वापस मिलेला। एह दांव पर हाउस एज आधा होके 1.35% हो जाला।पूरा पढ़ीं → के साथे सम-धन दांवदांवसम-धन दांवलाल/करिया, विषम/सम, हाई/लो। 18 गो नंबर, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ीं → पर $13.51। जवन नियमित खेलाड़ी हफ्ता में दू बेर, एक साँझ में $500 लगावेला, ऊ एक बरिस में $52,000 के कुल दांव-रकम लगा देला आ यूरोपीय व्हील पर मोटा-मोटी $1,400 एज में भरेला। ई रकम हर स्पिन पर छोट बा आ हर बरिस पर बिना रुकले बढ़त रहेला।
हर स्पिन पर भा हर निपटल दांव पर
रूलेट के लगभग हर दांव एगो स्पिन से तय हो जाला, एही से ओकर हर स्पिन के एज आ हर दांव के एज एके संख्या होला। जवन दांव पुश हो के लेआउटउपकरणलेआउटटेबल पर छपल दांव वाला ग्रिड। दोसर नाम: table, felt, cloth।पूरा पढ़ीं → पर टिकल रह सकेला, ओकर दू गो माप होला। Riverboat Roulette के टील दांव अमेरिकी व्हील के 3 गो नंबर कवर करेला, अगर ओह में से कवनो 8 गो सफेद नंबर में से कवनो से पहिले आ जाव त 2 से 1 जीतेला, आ बाकी सभ पर पुश होला। हर निपटल दांव पर ऊ दांव के 2/11, यानी 18.18%, हारेला। हर स्पिन पर ऊ 2/38, यानी 5.26%, हारेला, काहे कि औसतन दांव 38/11 स्पिन, मोटा-मोटी 3.5, ले टिकल रहेला। दूनो आँकड़ा सही बा। हर स्पिन वाला आँकड़ा दांव के बाकी टेबल से तुलना करेला आ बतावेला कि एक घंटा के खरचा का बा; हर निपटल दांव वाला आँकड़ा बतावेला कि जब दांव आखिर में निपटेला त हर दांव के रकम में से केतना वापस आवेला।
जब कसीनो दाम गलत लगा देला
एह पन्ना के हर एज ओह गणित से आवेला जवन कसीनो आम तौर पर सही करेला। कबो-कबो ना करेला। अक्टूबर 1994 में बिलॉक्सी, मिसिसिपी के Grand Casino तीन गो पासा के जोड़ 4 पर 80 से 1 देत रहे, आ 17 पर भी ओतने। तीन गो पासा 216 तरीका से गिरेला आ ओह में से खाली 3 के जोड़ 4 होला, एही से ई दांव लगावल हर इकाई पर 81 × 3/216 = 1.125 लवटावत रहे: खेलाड़ी के पक्ष में 12.5% एज। खेलाड़ी लोग ई भाँप लेलें। कसीनो एक दिन में मोटा-मोटी $1,80,000 गँववलस, दांव बंद कइलस, आ फेर 60 से 1 पर खोललस, जवन 216 में ओही 3 मौका के कसीनो खातिर 15.3% एज में बदल देला। बोलमैन के हवाला देत हुनाचेक (2025) ई कहानी सुनावेलें। रूलेट के मानक भुगतान एतना सीधा बा कि एह तरह गलती होखल मुश्किल बा; एकर अनोखा साइड दांवदांवसाइड दांवमुख्य खेल से जुड़ल मरजी के एगो अतिरिक्त दांव, अक्सर कवनो सिलसिला, बोनस घटना भा जैकपॉट पर। लगभग हमेशा मानक दांव से महँग।पूरा पढ़ीं → ऊ जगह बा जहाँ गणित जाँचल काम के बा।
दोसर टेबल खेल में साइड दांव
बोलमैन (2021) ब्लैकजैक, बैकारेट, क्रैप्स आ रूलेट के मुख्य दांव के ओही टेबल के आम साइड दांव के बगल में रखेलें। पहिला तीन खेल में साइड दांव मुख्य दांव से महँग पड़ेला, अक्सर कई गुना महँग। अपवाद तालिका के आखिरी खेल बा: अमेरिकी रूलेटरूपांतरअमेरिकी रूलेट0 आ 00 वाला व्हील, 38 गो पॉकेट, हाउस एज 5.26%। एह साइट के डिफ़ॉल्ट मॉडल ना ह।पूरा पढ़ीं → में मुख्य दांव पर एज 5.26% बा, एतना ऊँच कि Colors भा WINGO जइसन साइड दांव सस्ता पड़ सकेला।
सूत्र
सवाल
ना। ई ओकर 2.70% ह जवन रउआ दांव पर लगावत बानी। ओही पइसा के फेर से लगवला पर ऊ फेर से दांव में गिनाला।
ना। ई एगो अनुपात ह। डॉलर में अपेक्षित घाटा दांव के रकम के साथे बढ़ेला।
एज से नापीं त सभ मानक यूरोपीय दांव बराबर बा; फरक खाली एतने बा कि ऊ केतना बेर जीतेला आ केतना देला। La partage के साथे सम-धन दांव के एज बाकी दांव के आधा बा।
गणित के साथे मनोरंजन
पहिले रउआ खुद आजमाईं। हर हल मोड़ के छिपावल बा; जब तइयार होखीं तब खोलीं।
यूरोपीय व्हील पर स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएगो अकेला नंबर, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ीं → आ लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → पर दांव, दुनो के लागत 2.70% बा, जबकि एगो एक नंबर कवर करेला आ दूसरका अठारह। हर दांव के हाउस एजगणितहाउस एजहर दांव के ऊ हिस्सा जवन कसीनो औसतन रख लेला: यूरोपीय रूलेट में 2.70%।पूरा पढ़ीं → एके जइसन काहे बा?
हल देखाईं
जवाब हर भुगतानपइसाभुगतानजीतल दांव पर जवन मिलेला, “X पर 1” के रूप में बतावल, लवटावल दांव के ऊपर से।पूरा पढ़ीं → अइसे तय कइल बा जइसे शून्यव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → होखबे ना करे, एही से हर दांव 37 स्पिन में एगो इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं → हारेला, चाहे जेतना नंबर कवर करे।
n नंबर पर एगो दांव लीं। ऊ (36 − n)/n से 1 के भुगतान देला। 37 स्पिन में ऊ औसतन n बेर जीतेला आ 37 − n बेर हारेला।
जीत से n × (36 − n)/n = 36 − n इकाई आवेला। हार के लागत 37 − n इकाई बा। फरक हर 37 स्पिन में −1 इकाई बा, आ n कट गइल: नतीजा स्ट्रेट-अप, कॉर्नरदांवकॉर्नरलेआउट पर एके कोना साझा करे वाला चार गो नंबर, भुगतान 8:1।पूरा पढ़ीं → भा दर्जनदांवदर्जन1–12, 13–24 भा 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ीं → खातिर एके बा। 37 में एगो इकाई के घाटा 2.70% ह।
N पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर बनल 37 गो नंबर वाला खाना में से एगो। दोसर नाम: slot, cup।पूरा पढ़ीं → वाला व्हील पर उहे जोड़ (36 − N)/N देला, एही से अमेरिकी व्हील पर −2/38 = 5.26%। एह पैटर्न के तूड़े वाला एके गो दांव बा, अमेरिकी पाँच-नंबर दांव: नियम के हिसाब से ओकरा 6.2 से 1 देवे के चाहीं, ऊ 6 देला, आ ओकर लागत 7.89% बा।
केनो, लॉटरी जइसन खेल, लगावल रकम के 25% भा ओहसे अधिक राख लेला। अगर कवनो कसीनो रूलेट व्हील में शून्य जोड़ दे आ भुगतान ना बदले, त रूलेट के केनो जेतना महँग बनावे खातिर केतना शून्य लागी?
हल देखाईं
जवाब बारह गो शून्य: 48 पॉकेट वाला व्हील।
z शून्य होखे पर व्हील में 36 + z पॉकेट होला, आ भुगतान तबो 36 मान के चलेला। ऊपर वाला पहेली के नियम से हर दांव 36 + z स्पिन में z इकाई हारेला, एही से हाउस एज z/(36 + z) बा।
एकरा के एक-चौथाई के बराबर राखीं: 4z = 36 + z, एही से z = 12। 48 पॉकेट वाला व्हील पर बारह गो शून्य के लागत 25% होई।
लास वेगास स्ट्रिप के ट्रिपल-ज़ीरो व्हील, जवन सबसे महँग रूलेट बा जवना से जादातर खेलाड़ी के भेंट होई, ओहू में एकर एक-चौथाई शून्य बा।
शून्यपॉकेटहाउस एज1372.70%2385.26%3397.69%44010.00%124825.00%मैसाचुसेट्स लॉटरी 2023 में 36 नंबर वाला आ बिना शून्य के एगो व्हील शुरू कइलस। एगो नंबर 1 के बदले 25 देला, आ लाल, करियादांवकरिया18 गो करिया नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: noir।पूरा पढ़ीं →, विषम भा सम 2 के बदले 3 देला। बिना शून्य के, का ई रूलेट से सस्ता बा?
हल देखाईं
जवाब ना, बहुते महँग: नंबर पर 30.56% आ लाल भा करिया पर 25%, जबकि यूरोपीय व्हील पर 2.70% बा।
“के बदले” में दांव के रकम शामिल बा। $1 के नंबर दांव 36 ड्रॉ में औसतन एक बेर $25 लउटावेला: $36 लगावला पर $25 वापस, 36 में $11 के घाटा, 30.56%।
लाल पर $2 के दांव आधा बेर $3 लउटावेला: हर $4 लगावला पर $3 वापस, 25% के घाटा।
शून्य दाम तय करे के खाली एगो तरीका ह। रूलेट 36 पॉकेट मान के भुगतान करेला आ 37वाँ जोड़ देला; एह व्हील में 36 पॉकेट बा आ ई बस कम भुगतान करेला। Bollman (2024) एकरा के अभ्यास के रूप में देले बाड़ें।
एगो कसीनो 1 से 36 ले के ग्यारह गो अभाज्य संख्यागणितअभाज्य संख्या1 से बड़ पूरा संख्या जवना के खाली 1 आ खुद ऊ संख्या ठीक-ठीक भाग देला: 2, 3, 5, 7, 11, 13 वगैरह।पूरा पढ़ीं → पर नया दांव चाहत बा: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 आ 31। यूरोपीय व्हील के हर दोसर दांव जइसन 2.70% लागत खातिर एकरा केतना भुगतान देवे के चाहीं? 2 से 1 पर एकर लागत का होई?
हल देखाईं
जवाब 25 से 11, मोटा-मोटी 2.27 से 1। 2 से 1 पर एकर लागत 10.81% होई।
पहिला पहेली के नियम लीं: n नंबर पर दांव (36 − n)/n से 1 के भुगतान देला। n = 11 पर ई 25/11 से 1 बा, एगो बेढब भुगतान, काहे कि $10 के चिपपइसाचिपएगो तय रकम के बदला में टोकन, जवन दांव लगावे खातिर लेआउट पर रखल जाला। दोसर नाम: check।पूरा पढ़ीं → $22.73 जीती।
2 से 1 पर, $1 के दांव 37 में से 11 स्पिन पर $2 जीतेला आ बाकी 26 पर $1 हारेला: हर 37 स्पिन में 22 − 26 = −4 इकाई, 10.81%।
एही से रूलेट 1, 2, 3, 4, 6, 12 आ 18 नंबर पर दांव बेचेला: 36 एह सभ से बँट जाला, एही से निष्पक्ष भुगतान पूरा संख्या होला। Taylor (2021) दस गो अभाज्य संख्या के साथे अभ्यास देले बाड़ें; ऊ ग्यारह गो बा।
हँसी के बीच
हर दांव के 1/37, हर दांव पर, हर स्पिन पर।
स्रोत
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.