सवाल: टेबल के सीमा
$500 वाला टेबल पर $10 के मार्टिंगेल। ई केतना बेर टूटेला, टूटला पर केतना घाटा करेला, आ का सीमा बढ़वला से कवनो मदद मिलेला?
लगातार छव गो हार एकरा के तूड़ देला: प्रति चक्र 1.8%, 100-स्पिन वाला सत्र के लगभग 60% में। टूटे के दाम $630 बा। सीमा $5,000 कइला पर टूटल कम होला (प्रति चक्र 0.25%) बाकिर बड़ होला ($5,110)। कवनो सीमा पर लगावल हर डॉलर पर अपेक्षित घाटा 2.70% बा।
सवाल
एगो खेलाड़ी लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → पर $10 लगावेला आ हर हार के बाद दांव दुगुना करेला, जीत के बाद फेर से शुरू करेला। टेबल के अधिकतम सीमा $500 बा। (a) केतना लगातार हार प्रगति-क्रमरणनीतिप्रगति-क्रमकवनो नियम जवन पिछला नतीजा के हिसाब से दांव के रकम बदलेला। नकारात्मक प्रगति-क्रम हार के बाद दांव बढ़ावेला, सकारात्मक जीत के बाद।पूरा पढ़ीं → के तूड़ देला? (b) प्रति चक्र संभावनागणितसंभावनाकवनो नतीजा के मौका, 0 से 1 ले भा 0% से 100% ले। एगो नंबर: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ीं → का बा? (c) टूटला पर केतना गँवावल जाला? (d) $5,000 के सीमा जवाब सभ के कइसे बदलेला? (e) का कवनो सीमा सिस्टम के फायदा वाला बना देला?
हल (a)–(c)
दांव: 10, 20, 40, 80, 160, 320। सातवाँ 640 > 500 होखित, एही से छव गो हार एकरा के तूड़ देला। (b) लाल पर p(हार) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, प्रति चक्र लगभग 1.8%। एगो चक्र औसतन लगभग दू स्पिन चलेला, एही से 100-स्पिन के सत्र में मोटा-मोटी 50 गो चक्र होला आ p(कम से कम एक बेर टूटल) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%। (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, यानी 63 आधार इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं →, ओह $10 के मुकाबले जवन चक्र जीते के कोसिस करत रहे।
हल (d)
$5,000 पर: 2,560 ले के दांव मान्य बा; दसवाँ दांव, 5,120, ना मानल जाला। नौ गो हार एकरा के तूड़ देला: (19/37)⁹ ≈ प्रति चक्र 0.25%, 100-स्पिन वाला सत्र के लगभग 11% में। टूटला पर घाटा: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110। खेलाड़ी एगो बड़ तबाही के दाम पर एगो दुर्लभ तबाही खरीद लेले बा। ढेर सत्र में टूटे के अपेक्षित दाम p × घाटा ≈ 0.0183 × 630 = $500 वाला सीमा पर प्रति चक्र $11.5 बा, आ $5,000 पर 0.0025 × 5,110 = $12.8; दुनो लगे-लगे बा बाकिर बराबर ना, आ हर एक चक्र के अपेक्षित घाटागणितअपेक्षित घाटाअपेक्षित मान गुणा कुल लगावल रकम; कवनो सत्र भा समय में औसतन होखे वाला घाटा।पूरा पढ़ीं → आ जीते वाला चक्र सभ के कमाइल $10 के जोड़ बा।
हल (e)
ना। प्रति चक्र अपेक्षित घाटा = (चक्र में अपेक्षित कुल दांव) / 37, कवनो सीमा पर, काहे कि हर दांव अपना के −1/37 बा। सीमा खाली ई तय करेले कि घाटा ढेर छोट जीत आ कुछ बड़ हार के बीच कइसे बँटाई। अगर कवनो सीमा ना होखे आ खेले के पूँजीपइसाखेले के पूँजीखेले खातिर अलगा रखल कुल रकम। पूँजी के संभाल माने ई तय कइल कि हर दांव आ हर सत्र में एकर केतना हिस्सा जोखिम में डालल जाव।पूरा पढ़ीं → अनंत होखे, त प्रगति-क्रम एह अर्थ में “काम” करी कि ऊ कबो ना टूटी, आ ऊ बेहिसाब रकम पर दांव भी लगाई जेकर अपेक्षित घाटा ओह बेहिसाब रकम के 2.70% होई। मार्टिंगेलरणनीतिमार्टिंगेलप्रगति-क्रम जवन हर हार के बाद दांव दोगुना कर देला। ई का करेला आ का ना करेला, एकरा खातिर रणनीति वाला हिस्सा देखीं।पूरा पढ़ीं → के काम करे से टेबल के सीमाटेबलटेबल के सीमाइजाजत वाला सबसे छोट आ सबसे बड़ दांव। सबसे बड़ वाला सीमा ही दोगुना करे वाला प्रगति-क्रम के रोकेला।पूरा पढ़ीं → ना रोकेले। हिसाब रोकेला।
दू गो असली टेबल
Thorp के उदाहरण $1 वाला टेबल के बा जेकर अधिकतम सीमा $1,000 बा, जहाँ खेलाड़ी एक-एक डॉलर करके रात के खाना खातिर $30 जीते के उमेद करेला। 1, 2, 4 … 512 वाला दांव दस गो दांव के इजाजत देला, एही से लगातार दस हार प्रगति-क्रम के तूड़ देला: यूरोपीय व्हील पर 785 चक्र में एक बेर (अमेरिकी पर 613 में एक बेर), $1,023 के दाम पर। तीसो चक्र 96.2% बेर सफल होला। बाकी 3.8% में लगभग $1,000 डूब जाला, आ शाम के औसत नतीजा −$9.17 बा, जवन ठीक ओह $339 के 1/37 बा जवन तीस चक्र औसतन दांव पर लगावेला। $2,000 अधिकतम वाला $5 के टेबल भी अलग ना ह: $1,280 ले के दांव नौ गो दांव के इजाजत देला, आ टूटल यूरोपीय व्हील पर 403 चक्र में एक बेर (अमेरिकी पर 323 में एक बेर) आवेला आ $2,555 के पड़ेला।
एगो धनी खेलाड़ी
कम सीमा के बदले प्रगति-क्रम के गहिर खेले के पूँजी दीं: 1,000 इकाई, एक इकाई के आधार, आ लाल पर 1,000 स्पिन; जब अगिला दुगुना बाचल रकम से जादा होखे, तब फेर एक इकाई से शुरू करीं। हमनी अइसन दस लाख शाम के सिमुलेशन कइनी। यूरोपीय व्हील पर 52% आगे रह के खतम होला, 21% सब कुछ हार जाला, आ औसत नतीजा −124 इकाई बा। बिना शून्यव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → वाला खेल में भी, जहाँ हर दांव निष्पक्ष बा, खाली लगभग 60% आगे खतम होइत। आम शाम एगो छोट जीत होले; औसत के दाम ऊ शाम चुकावेले जवन शून्य पर खतम होले।
सीख
कसीनो सीमा आपन प्रसरणगणितप्रसरणएगो नाप कि नतीजा अपेक्षित मान के चारो ओर केतना फइलल बा। स्ट्रेट-अप खातिर जादा, सम-धन दांव खातिर कम।पूरा पढ़ीं → के बान्हे खातिर तय करेला, सिस्टम के हरावे खातिर ना। मार्टिंगेल के हरावल एगो अइसन साइड-असर बा जवन ओकनी के खुसी से रखेला, आ हिसाब ओकरा के ओइसहूँ हरा देइत। जे खेलाड़ी सोचेला कि सीमे समस्या बा, ऊ खाई खोज लेले बा आ ओकरा के ढलान समझ लेले बा।
सूत्र
सवाल
ऊ रउआ के ऊँच सीमा ले टिके देले, जहाँ टूटल कम बाकिर बड़ होला। प्रति डॉलर अपेक्षित घाटा ओइसहीं रहेला।
दांव 10, 30, 70, 150, 310: $500 के सीमा पाँच गो हार के बाद आ जाले, आ टूटे के दाम $570 बा। उहे 2.70%।
ताकि कवनो एगो खेलाड़ी कसीनो के रिजर्व जेतना आराम से चुका सके, ओकरा से अधिका दांव ना लगा सके। प्रसरण के प्रबंधन।
गणित के साथे मनोरंजन
पहिले रउआ खुद आजमाईं। हर हल मोड़ के छिपावल बा; जब तइयार होखीं तब खोलीं।
एगो मार्टिंगेलरणनीतिमार्टिंगेलप्रगति-क्रम जवन हर हार के बाद दांव दोगुना कर देला। ई का करेला आ का ना करेला, एकरा खातिर रणनीति वाला हिस्सा देखीं।पूरा पढ़ीं → लालदांवलाल18 गो लाल नंबर पर सम-धन दांव। फ़्रेंच में: rouge।पूरा पढ़ीं → पर $100 से सुरू होला आ एक चक्र में बेसी से बेसी n दांव के छूट देला: लगातार n हार के बाद ऊ हार मान के फेर से सुरू करेला। एगो चक्र के औसत नतीजा n के सूत्र के रूप में लिखीं, आ यूरोपीय व्हील पर 5, 6 आ 7 दांव खातिर हिसाब लगाईं।
हल देखाईं
जवाब औसत 100 × (1 − (38/37)ⁿ) बा: 5 दांव खातिर −$14.26, 6 खातिर −$17.35 आ 7 खातिर −$20.52। जादा दांव के छूट देला से औसत चक्र बढ़िया ना, बलुक खराब होला।
चक्र $100 जीतेला, जब ले सभ n दांव ना हार जाव, जवन qⁿ संभावना से होला, जहाँ q = 19/37। जब सभ हार जाला, त दांव 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ जुड़ के 100 × (2ⁿ − 1) होला। एही से औसत 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) बा।
इहाँ 2q = 38/37, 1 से तनी जादा, एही से (2q)ⁿ n के साथे बढ़ेला आ औसत गिरेला: n = 5 पर 1.1426 आ −$14.26; n = 6 पर 1.1735 आ −$17.35; n = 7 पर 1.2052 आ −$20.52। लंबा सीढ़ी कम बेर हारेले, 3.6%, 1.8% आ 0.9% चक्र में, बाकिर हर हार दुगुना बड़ होला, आ हर चक्र में जादा पइसा टेबल पार करेला, हर दांव के 2.70% पर।
अमेरिकी व्हील पर 2q = 40/38 आ आँकड़ा −$29.24, −$36.04 आ −$43.20 बा (Taylor, 2021)। बिना शून्यव्हीलशून्यअकेला हरियर पॉकेट जवना के कवनो सम-धन, दर्जन भा कॉलम दांव ना ढँकेला; हाउस एज के जड़ इहे बा। दोसर नाम: single zero, 0।पूरा पढ़ीं → वाला खेल में 2q = 1, आ हर चक्र के औसत ठीक शून्य होला, सीढ़ी चाहे जेतना लंबा होखे।
“ग्रैंड मार्टिंगेल” हार के बाद दांव दुगुना करेला आ एक इकाईपइसाइकाईमूल दांव जवना में कवनो सिस्टम भा खेलाड़ी हिसाब करेला। प्रगति-क्रम इकाई में बतावल जाला ताकि ऊ कवनो टेबल पर लागू हो सके।पूरा पढ़ीं → जोड़ेला, एही से दांव 1, 3, 7, 15, 31 … चलेला। जदि पहिला जीत 1ला, 2रा, 3रा भा kवाँ दांव पर आवे त रउआ केतना आगे बानी? $10 के इकाई आ $500 के अधिकतम पर, चक्र केतना बेर टूटेला, आ एगो चक्र के औसत दाम का बा?
हल देखाईं
जवाब kवाँ दांव पर जीत रउआ के k इकाई आगे छोड़ेला: +1, +2, +3 आ अइसहीं। $10 आ $500 पर पाँच हार के बाद चक्र टूटेला, 3.57% चक्र में, −$570 खातिर। औसतन एगो चक्र $85.73 लगावला में $2.32 हारेला: 2.70%।
kवाँ दांव 2ᵏ − 1 इकाई बा: 1, 3, 7, 15, 31। पहिला k − 1 दांव जुड़ के 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 होला। kवाँ दांव पर जीत 2ᵏ − 1 देला, एही से चक्र (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k इकाई आगे खतम होला: जीत से पहिले के हर हार खातिर एगो अतिरिक्त इकाई।
$10 के इकाई पर दांव $10, $30, $70, $150 आ $310 बा; अगिला, $630, $500 के अधिकतम से ऊपर बा। लगातार पाँच हार, (19/37)⁵ = 3.57%, के दाम 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 बा।
औसत: k = 1 से 5 खातिर (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 संभावना से जीत $10 × k ले आवेला, आ टूटल 3.57% संभावना से $570 ले जाला; कुल मिला के −$2.32। लगावल पइसा के औसत हर चक्र $85.73 बा, आ 2.32/85.73 = 2.70%। ओही टेबल पर साधारण मार्टिंगेल छव हार के बाद टूटेला, 1.83% चक्र में, −$630 खातिर, आ $64.20 लगावला में $1.74 हारेला: फेर 2.70%।
एगो खेलाड़ी $1,000 के सीमा वाला टेबल पर $1 के पहिला दांव से लाल पर मार्टिंगेल के योजना बनावत बाड़न, एही से दस दांव संभव बा: $1, $2, $4 आ अइसहीं $512 ले। एगो चक्र केतना बेर सभ दस हारेला, ओह में औसतन केतना समय लागेला, आ 200 दांव वाला एगो साँझ केतना बेर अइसहीं खतम होला?
हल देखाईं
जवाब एगो चक्र मोटा-मोटी 784 में एक बेर सभ दस हारेला, जवना के दाम $1,023 बा। ई औसतन मोटा-मोटी 1,600 दांव बा, आ 200 दांव वाला साँझ मोटा-मोटी 11% बेर देवाल से टकराला। एगो चक्र अबो $11.31 लगावला में औसतन $0.31 हारेला: 2.70%।
लाल पर दांव 19/37 संभावना से हारेला, शून्य समेत। लगातार दस: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, मोटा-मोटी 784 में 1। दांव 1 + 2 + 4 + … + 512 जुड़ के $1,023 होला।
एगो चक्र में औसतन 2.05 दांव लागेला, एही से 784 चक्र में मोटा-मोटी 1,600 दांव लागेला। स्पिन-दर-स्पिन गिनला पर, दस हार के सिलसिला 200 दांव में कहीं न कहीं 11.3% बेर आवेला।
दू आफत के बीच खेलाड़ी हर चक्र $1 जीतेला: खराब वाला से पहिले मोटा-मोटी $783, फेर −$1,023, पूरा दौर में मोटा-मोटी −$240। हर चक्र: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31। हर चक्र लगावल पइसा: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31। आ −0.31/11.31 = −2.70%।
$500 के सीमा पर $10 के पहिला दांव से तुलना करीं, छव दांव: देवाल 55 चक्र में एक बेर आवेले, आ 200 दांव वाला साँझ 84% बेर ओकरा से टकराले। ऊँच सीमा टक्कर के दुर्लभ आ बड़ बनावेले, सस्ता ना।
हँसी के बीच
हर सीमा पर कम बाकिर बड़। गुणनफल थिर बा।
स्रोत
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.